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Résumé :
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Dossier consacré à la notion de birapport, base de la géométrie projective : la division harmonique, le faisceau harmonique de droites, le rapport anharmonique selon le mathématicien Michel Chasles, la propriété fondamentale de cocyclicité ; la mesure algébrique et le rapport orienté de longueurs, une présentation historique des apports à la notion de birapport par les mathématiciens Pappus d'Alexandrie, Jean-Victor Poncelet, August Ferdinand Möbius, Karl von Staudt et Michel Chasles. Présentation de l'invariant concernant quatre points deux à deux distincts et non alignés par projection centrale, ou homographie, et de l'extension de la notion de birapport aux droites concourantes, de la division harmonique avec la relation de Descartes et du rapport anharmonique selon Michel Chasles ; les projections centrales dans le plan, une démonstration de l'invariance du birapport par projection centrale à partir de la relation de Möbius, le rapport invariant dans le plan et dans l'espace. Démonstration du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva dans le cadre de la géométrie affine ; la version du théorème pour les triangles sphériques de Ménélaüs (ou menelaos), les apports de Giovanni Ceva aux mathématiques notamment en économie. Démonstration à partir d'exemples géométriques que le birapport comme invariant fondamental de la géométrie projective concerne également les géométries non-euclidiennes (géométrie hyperbolique dite géométrie de Bolyai-Lobatchevski, notion de polarité, disque de Klein, disque de Poincaré, projection stéréographique, projection centrale d'un hyperboloïde) ; présentation de l'inversion des pôles comme propriété fondamentale pour la construction des modèles hyperboliques de Klein-Beltrami et Poincaré.
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