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Résumé :
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Dossier consacré au champ des possibles offert par l'étude des surfaces. Exposé de problèmes de dynamiques à l'aide de l'étude de trajectoires dans un billard (configuration étudiée par Jean-Victor Poncelet, loi de réflexion et réflexion spéculaire, déploiement de trajectoires périodiques, trajectoires périodiques dans un pentagone et dans un hexagone, trajectoires périodiques dans un triangle équilatéral, trajectoire périodique à vingt-deux rebonds, triangle orthique). Retour sur l'épopée des géométries non euclidiennes : la remise en cause du cinquième postulat d’Euclide par Gauss, Janos Bolyai et Nikolaï Lobatchevski ; les cartes de Beltrami (représentation de Klein, modèle de Poincaré, pseudosphère) ; le disque de Poincaré. Explication et illustration de la technique des corrugations pour répondre à des contraintes géométriques et produire des surfaces dites fractales lisses (compression d’une sphère pour aboutir à une sphère réduite grâce aux travaux mathématiques de John Forbes Nash, de Mikhaïl Gromov et du groupe Hévéa, les représentations isométriques en quatre dimensions (4D) et en trois dimensions (3D) du tore carré plat) ; définition de la régularité d’une surface et du caractère lisse d’une courbe ; définition d’une isométrie. Un point sur la cyclide de Charles Dupin et celle d’Arthur Cayley, les carreaux de Bézier (inventeur, applications et utilisations) et la trompette de Torricelli (ou trompette de Gabriel ou cor de Gabriel, ses particularités). Présentation du roman mathématique "Flatland" écrit par Edwin Abbott, publié sous le pseudonyme A. Square, ses adaptations cinématographiques, les oeuvres qu’il a inspirées chez Charles Howard Hinton et Dyonis Burger. Présentation du paradoxe de l’échiquier ou paradoxe de Fibonacci : sa généralisation par Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll), sa description par Warren Weaver, les apports de Sam Loyd et de son fils, son développement par Paul Curry et sa vulgarisation par Martin Gardner.
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